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作為流體力學(xué)領(lǐng)域的科學(xué)家，塞利爾和班卓決心從這一物理特性入手，利用數(shù)學(xué)建模計(jì)算，模擬了已成型的煎餅與還在流動(dòng)的殘余面糊在受熱容器中的相互作用。這可是一項(xiàng)復(fù)雜而繁瑣的工作，但也比親手上鍋?zhàn)鰧?shí)驗(yàn)省時(shí)省力多了。更為關(guān)鍵的是，這樣做可以嚴(yán)格監(jiān)控每一個(gè)變量和細(xì)節(jié)。

他們嘗試了兩種方法，第一種是將面糊表面運(yùn)動(dòng)采用參數(shù)化的諧波方程描述，并采用蒙特卡洛方法“暴力求解”，找出最優(yōu)的參數(shù)組合。這里要考慮的參數(shù)就有十個(gè)，包括面糊黏度、密度、鍋的傾斜角、半徑、面糊初始厚度等等。

對(duì)煎餅的數(shù)學(xué)建模。如圖，從上到下，從左到右，從 t=0 到 t=7?t 之間面糊發(fā)生的變化，?t = 4.29 s。右側(cè)顏色梯度代表面糊厚度，深藍(lán)色的部分面糊最薄，淺藍(lán)色至紅色部分面糊越來(lái)越厚。圖中箭頭方向代表每個(gè)瞬間的重力方向。圖片來(lái)源：Boujo and Sellier, Phys. Rev. Fluids, 2019

計(jì)算機(jī)在設(shè)定的參數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行了大量計(jì)算，攤了無(wú)數(shù)個(gè)虛擬煎餅，終于找到了改善面糊均勻性的方法。相比不控制參數(shù)的情況（可能指的是他們?cè)诂F(xiàn)實(shí)中制作的早餐），這種方法能將煎餅的均勻性提升大約40%?？紤]到背后的海量計(jì)算工作，這種方法性?xún)r(jià)比確實(shí)不高。

于是，他們又嘗試了另一種方法。這是一種叫做伴隨優(yōu)化的數(shù)學(xué)算法：將面糊最終形態(tài)作為目標(biāo)函數(shù)，對(duì)面糊施加作用力而導(dǎo)致的運(yùn)動(dòng)被描述為一系列偏微分方程，以提供約束條件，在此基礎(chǔ)上對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，尋找使面糊均勻平坦的最優(yōu)路徑和方法。

在這個(gè)案例中，伴隨優(yōu)化算法完勝蒙特卡洛方法，它用更少的計(jì)算量實(shí)現(xiàn)了更大的性能提升。在該算法的幫助下，塞利爾和班卓獲得了黏度變化的面糊在移動(dòng)容器中的流動(dòng)及成形特征。經(jīng)過(guò)多次的調(diào)整和模擬，他們終于找到了制作可麗餅的最佳方法，能讓餅的均勻程度提升83%。

如圖，圖 (a) 為不加控制的對(duì)照組，圖 (b) 為諧波優(yōu)化-蒙特卡洛方法得到的結(jié)果，圖 (c) 和 (d) 為用伴隨優(yōu)化算法得到的結(jié)果，其中力度控制參數(shù)不同。從圖 (a) 到圖 (d)，煎餅越來(lái)越均勻。圖片來(lái)源：Boujo and Sellier, Phys. Rev. Fluids, 2019

攤煎餅的終極奧義

總而言之，在充分比較了非控制組、協(xié)調(diào)方程-蒙特卡洛解法以及伴隨優(yōu)化求解法的最終結(jié)果后，研究人員找到了一個(gè)實(shí)用的攤煎餅方法：

將攤一張餅所需的面糊一次性倒入平底鍋，然后迅速將鍋傾斜一個(gè)角度；面糊會(huì)流向鍋的邊緣，接著順時(shí)針或逆時(shí)針將鍋轉(zhuǎn)動(dòng)一到兩圈，使未凝固的面糊自然流動(dòng)、成形。

根據(jù)伴隨優(yōu)化算法，隨著面糊逐漸受熱凝固，平底鍋的傾角應(yīng)該逐漸減小，轉(zhuǎn)動(dòng)速度也要放慢。在理想情況下，當(dāng)傾角減小到零，也就是鍋處于水平位置的時(shí)候，面糊剛好完全覆蓋鍋底。

需要注意的是，一定要始終沿著同一個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)鍋，切忌在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中變換方向。

這種方法有個(gè)酷炫的名字：重力驅(qū)動(dòng)液態(tài)膜的最優(yōu)控制。這一技術(shù)不僅能用來(lái)做早餐，還能應(yīng)用到巧克力制造、涂層工藝和彈性薄殼制造等領(lǐng)域，而彈性薄殼在航空航天、船舶制造等方面都有重要應(yīng)用。誰(shuí)能想到，對(duì)美好早餐的追求也能推動(dòng)工程技術(shù)的小小進(jìn)步呢？

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