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本文來源：微信公眾號“中科院物理所”

摘要

本文介紹非相對論量子力學(xué)的九種形式。它們分別是波動形式，矩陣形式，路徑積分形式，相空間形式，密度矩陣形式，二次量子化形式，變分形式，導(dǎo)航波形式和哈密頓-雅可比形式。同時還提到多世界詮釋和交易詮釋的理論?？傮w上來看這幾種形式在數(shù)學(xué)表示上以及概念上都有明顯的區(qū)別，但它們卻對實(shí)驗(yàn)結(jié)果做出了完全相同的預(yù)測。

一、為什么關(guān)心多種表示形式？

經(jīng)典力學(xué)的高級課程會花費(fèi)很多時間來探討經(jīng)典力學(xué)的各種形式——牛頓力學(xué)，拉格朗日力學(xué)，哈密頓力學(xué)，最小作用量原理等（可以參見附錄A）。但這些在高級量子力學(xué)課程上卻沒有出現(xiàn)！事實(shí)上，甚至在研究生課程中也都在一致地強(qiáng)調(diào)波動形式，而幾乎不重視其它幾種形式。之所以這樣做，原因是顯而易見的——即使只學(xué)習(xí)量子力學(xué)的一種形式都已經(jīng)很難了。但必定有聰明的同學(xué)會有疑問，既然我們能學(xué)幾種經(jīng)典力學(xué)的形式，那么為什么就不能學(xué)幾種量子力學(xué)的形式呢。本文介紹了九種量子力學(xué)的形式。

既然這些力學(xué)形式會對實(shí)驗(yàn)結(jié)果給出完全相同的預(yù)測，我們?yōu)槭裁催€要學(xué)這么多呢？我想至少有三個原因使我們需要學(xué)習(xí)它們。第一，有些問題用一種形式表示很困難，而用另一種形式表示則將變得容易得多。例如經(jīng)典力學(xué)中拉格朗日力學(xué)允許出現(xiàn)廣義坐標(biāo)，在很多情況下它要比牛頓力學(xué)容易一些。第二，不同的形式將給人以不同的視角。例如在經(jīng)典力學(xué)中牛頓力學(xué)和最小作用量原理分別用不同的圖示來展現(xiàn)“世界是怎么運(yùn)行的”。第三，不同的形式在不同的情形下很容易推廣到新的理論中。例如，拉格朗日力學(xué)可以相當(dāng)容易地從保守經(jīng)典力學(xué)推廣到保守相對論力學(xué)，而牛頓力學(xué)則可以很容易地從保守經(jīng)典力學(xué)中推廣到經(jīng)典耗散力學(xué)。正如化學(xué)家E.Bright Wilson所說：

“我過去常常去找J.H.Van Vleck，向他請教量子力學(xué)方面的問題。我發(fā)現(xiàn)他非常有耐心，而且非常樂于幫助我。但有時他會用一種混合了波動力學(xué)，算符積分以及矩陣運(yùn)算的大雜燴給我講，這讓我這個勉強(qiáng)是薛定諤方程新信徒的人倍感苦惱。我不得不學(xué)著用另一種語言來思考，當(dāng)然這些對我來說也是絕對有必要的?！?

當(dāng)然想要?dú)v數(shù)這些形式，不可避免地要分清什么是量子力學(xué)的“形式（formulations）”，什么是量子力學(xué)的“詮釋（interpretations）”。我們在此的目的只是去分清不同的數(shù)學(xué)形式，但數(shù)學(xué)形式還是會影響概念的解釋（或受概念解釋的影響），所以這種區(qū)分方法的輪廓絕不可能是清晰的。我們也意識到別的人可能會有完全不同的劃分方法。此外還有一個附加的困惑，哥本哈根解釋這個術(shù)語包含甚廣，但定義卻非常不嚴(yán)格。例如哥本哈根的兩個主要奠定者之一維納 . 海森堡曾說過“位置的觀測會影響動量”，而尼爾斯.波爾則特別反對“相”的概念，我們經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)他在物理著作中提到諸如“測量會干擾現(xiàn)象”的話。

附錄A：經(jīng)典力學(xué)的各種形式

我們知道的經(jīng)典力學(xué)的形式有以下幾種：

牛頓力學(xué)

拉格朗日力學(xué)

哈密頓力學(xué)

哈密頓原理（費(fèi)曼和朗道稱作最小作用量原理）

莫陪督最小作用量原理（也與歐拉、拉格朗日、雅可比等人有關(guān)）

最小約束（高斯）

最小曲率（赫茲）

吉布斯-阿佩爾

泊松括號

朗格朗日括號

劉維爾方程

哈密頓-雅可比方程

這些形式在任何一本經(jīng)典力學(xué)教科書中都或多或少地談?wù)撨^。在這本書中有對它們清晰、廣泛地研究：

E. T. Whittaker, A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, 4th ed. Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1937 .

二、九種形式

1、矩陣形式（海森堡）

沃納·海森堡

量子力學(xué)的矩陣形式，由海森堡于1925年發(fā)展出來。這是第一種被發(fā)現(xiàn)的量子力學(xué)形式。而現(xiàn)在廣泛被應(yīng)用的薛定諤的波動形式則比矩陣形式的發(fā)現(xiàn)晚大概六個月。

在矩陣形式中，每一個力學(xué)觀測量（例如位置、動量或能量）在數(shù)學(xué)上都被表示為一個矩陣（也稱作一個算符）。對一個有N（大多數(shù)情況下N=∞）個態(tài)的系統(tǒng)來說，這些矩陣將是一個 ×的厄米矩陣。一個量子態(tài) | 數(shù)學(xué)上就表示為 一個 ×1的列矩陣。

與實(shí)驗(yàn)結(jié)合

假設(shè)觀測量的值由算符 表示。然后對于任意函數(shù)()，在| 態(tài)測量()的期望值則為

|()|

這個式子不只是依賴于，還依賴于()。它不僅可以用來求期望值，還可以用來求不確定性（只需要取

）。事實(shí)上，還可以由()來求本征值的譜。如下：考慮一個實(shí)數(shù)集1, 2, 3, … 以及非負(fù)函數(shù)

那么集合1, 2, 3, …將構(gòu)成的本征值，當(dāng)且僅當(dāng)

在矩陣形式中特別強(qiáng)調(diào)算符的地位，本征問題在其中看起來是如此地自然。但人們也發(fā)現(xiàn)了它在計算含時變量或考慮全同粒子時卻不那么自然了。這些問題在隨后二次量子化中則可以很自然地解決。

含時性

與觀測量能量相應(yīng)的算符稱為哈密頓量，表示為

。任何一個算符隨時間的變化為

而|態(tài)不隨時間變化。

應(yīng)用

在很多應(yīng)用上（或許是大多數(shù)），波動力學(xué)相較矩陣力學(xué)都更直接。但一個例外是，對于諧振子的問題，波動力學(xué)要用晦澀難懂的厄密多項(xiàng)式來解決，而矩陣力學(xué)的算符分解的技巧（升、降階算符）則要清晰容易的多。同樣，在角動量的討論中也用到了相同的技巧。更廣義的分解方法（下面Green的書中有描述）可以解決更廣義的問題，不過其帶來的復(fù)雜性也使得用波動方程看起來更經(jīng)濟(jì)一些。

推薦參考

現(xiàn)代對量子力學(xué)的處理大多是混合了波動和矩陣形式，但更強(qiáng)調(diào)波動的一面。若想?yún)⒖寄切┹^為強(qiáng)調(diào)矩陣形式的文獻(xiàn)，我們推薦

1. H. S. Green, Matrix Mechanics P. Noordhoff, Ltd., Groningen, The Netherlands, 1965 .

2.T. F. Jordan, Quantum Mechanics in Simple Matrix Form Wiley, New York, 1986 .

歷史

矩陣力學(xué)形式是多種量子力學(xué)形式中第一個被發(fā)現(xiàn)的。原始文獻(xiàn)有

3. W. Heisenberg, “Uber die quantentheoretische Umdeutung kinematis- cher und mechanischer Beziehungen”, “Quantum-theoretical re- interpretation of kinematic and mechanical relations” , Z. Phys. 33, 879–893 1925 .

4. M. Born and P. Jordan, “Zur Quantenmechanik,” “On quantum me- chanics” , Z. Phys. 34, 858 – 888 1925 .

5. M. Born, W. Heisenberg, and P. Jordan, “Zur Quantenmechanik II”, Z. Phys. 35, 557–615 1926 .

這三篇文獻(xiàn)（還有一些別的）被譯成英文

6. B. L. van der Waerden, Sources of Quantum Mechanics North-Holland, Amsterdam, 1967 .

不確定原理在該理論成型兩年后提出

7. W. Heisenberg, “U ber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretis- chen Kinematik und Mechanik”, “The physical content of quantum kinematics and mechanic” , Z. Phys. 43, 172–198 1927 English translation in J. A. Wheeler and W. H. Zurek, editors, Quantum Theory and Measurement Princeton University Press, Princeton, NJ, 1983 , pp. 62 – 84 .

2、波動形式（薛定諤）

埃爾溫·薛定諤

相比矩陣形式，量子力學(xué)的波動形式把注意力從“可測量”轉(zhuǎn)移到了“態(tài)”上。兩粒子的系統(tǒng)的態(tài)（忽略自旋）數(shù)學(xué)上表示為一個六維位形空間的復(fù)函數(shù)，即

另一種等價的選擇是，我們可以在六維動量空間中表示這個態(tài)

薛定諤引入這種形式的目的是希望能夠把量子力學(xué)寫成一種符合直覺的形式。但最終他很失望，因?yàn)樗l(fā)現(xiàn)他的波函數(shù)只能存在于位形空間，而不是實(shí)際的三維空間。波函數(shù)應(yīng)當(dāng)被看作是一個計算觀測結(jié)果的數(shù)學(xué)工具，而不是一個存在于空間中的物理實(shí)體（像足球、氮分子，或電場）。（參考附錄B）

含時性

位形空間波函數(shù)隨時間改變的方式為

其中粒子的質(zhì)量分別為m1,和m2，而V(x1, x2)是經(jīng)典勢能函數(shù)。等價的，在動量空間波函數(shù)隨時間的改變?yōu)?

其中是能函數(shù)的傅里葉變換為

在測量一個物理量之后，波函數(shù)塌縮到一個與該物理量相應(yīng)的本征函數(shù)上。

能量本征態(tài)

很多態(tài)都沒有一個確定的能量。它們的本征方程是

其能譜可能是離散的（量子化的）也可能是連續(xù)的，這取決于勢能函數(shù)V(x1, x2)和能量的本征值。

全同粒子

如果兩個粒子是全同的，那么波函數(shù)在下標(biāo)變換的情況下將是對稱的或反對稱的

這取決于這兩個粒子是波色子還是費(fèi)米子。這個關(guān)系對于動量空間的波函數(shù)也同樣成立。

推薦參考

大多數(shù)量子力學(xué)的文獻(xiàn)都較為強(qiáng)調(diào)波函數(shù)形式。其中相對較好的教材有

8. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory, translated by J. B. Sykes and J. S. Bell, 3rd ed. Pergamon, New York, 1977 .

9. A. Messiah, Quantum Mechanics North-Holland, New York, 1961 .

10. D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics Prentice–Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1995 .

11. R. W. Robinett, Quantum Mechanics: Classical Results, Modern Sys- tems, and Visualized Examples Oxford University Press, New York, 1997 .

歷史

薛定諤在下面這篇文章中第一次寫下位形空間中的能量本征方程

12. E. Schro dinger, ‘‘Quantisierung als Eigenwertproblem Erste Mittei- lung ,’’ ‘‘Quantization as a problem of paper values part I ’’ , Annalen der Physik 79, 361–376 1926 .

他在五個月之后寫下含時方程（他稱之為“真正的波動方程”）

13. E. Schro dinger, ‘‘Quantisierung als Eigenwertproblem Vierte Mittei- lung ,’’ ‘‘Quantization as a problem of proper values part IV ’’ , An- nalen der Physik 81, 109–139 1926 .

英譯版本

14. E. Schro dinger, Collected Papers on Wave Mechanics Chelsea, New York, 1978 .

附錄B 規(guī)范變換

波函數(shù)在大多數(shù)量子力學(xué)討論中都扮演著中心的角色，以至于我們很容易陷入一種思維模式中，即認(rèn)為波函數(shù)不再是一個數(shù)學(xué)工具，而是一個物理實(shí)體。但考慮一下這個問題，或許我們就不會再這么認(rèn)為了。假設(shè)一個帶電粒子（電荷q）在一個電場中運(yùn)動，電場可以由一個標(biāo)量勢(x, t)和矢量勢A(x, t)描述。那么位形空間的薛定諤方程為

另一方面，我們可以用規(guī)范變換勢來描述同一個系統(tǒng)

我們可以證明用新的勢來描述的波函數(shù)與原來的波函數(shù)之間有這樣的關(guān)系

規(guī)范變換并沒有改變這個系統(tǒng)，不管采用哪一種規(guī)范變換，我們計算得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果都是一樣的。然而波函數(shù)卻實(shí)實(shí)在在地發(fā)生了變化。（其實(shí)，概率密度在規(guī)范變換下不能也不會改變，所以我們可以隨意地選擇位相，而位相對干涉的響應(yīng)有貢獻(xiàn)）。

3、路徑積分形式（費(fèi)曼）

理查德·費(fèi)曼

路徑積分形式（也稱為歷史求和形式）把我們的注意力從“態(tài)”轉(zhuǎn)移到了“轉(zhuǎn)移概率”上。例如，假設(shè)有一個粒子在時間位于x，我們希望求出在時間f時該粒子位于xf的概率有多大。這個概率的值可以這么算：

列舉出從初態(tài)到末態(tài)的所有經(jīng)典路徑；

計算每一條路徑的經(jīng)典作用量 = ∫();

給每條路徑分配一個正比于 /的“轉(zhuǎn)移振幅”（調(diào)整比例系數(shù)以滿足歸一性）;

對所有路徑的振幅求和（因?yàn)槁窂绞沁B續(xù)的，所以這里的求和實(shí)際上是一種積分，稱之為“路徑積分”）;

求和的結(jié)果就是從初態(tài)到末態(tài)的轉(zhuǎn)移振幅，其平方即轉(zhuǎn)移概率。

對別的不同的問題，例如對于粒子從一個動量變到另一個動量，或初態(tài)既沒有確定的位置也沒有確定的動量的情況，上面的程序就需要稍做調(diào)整了。

應(yīng)用

在非相對論量子力學(xué)中，用路徑積分直接解決問題往往不會很容易。但另一方面，在物理和化學(xué)的其他方面卻有大量的應(yīng)用，特別是在經(jīng)典量子場論以及統(tǒng)計力學(xué)中。例如，在量子體系的蒙特卡羅模擬中，路徑積分方法是一個很強(qiáng)大的工具。

15. M. H. Kalos and P. A. Whitlock, Monte Carlo Methods Wiley, New York, 1986 , Chap. 8.

此外，很多人覺得這種形式更有吸引力，因?yàn)槠鋽?shù)學(xué)形式更接近經(jīng)驗(yàn)——核心是轉(zhuǎn)移概率，而不是觀測不到的波函數(shù)。因此在教學(xué)中路徑積分也是很有效的。

16. E. F. Taylor, S. Vokos, J. M. O’Meara, and N. S. Thornber, “Teaching Feynman’s sum over paths quantum theory”, Comput. Phys. 12, 190– 199 1998 .

全同粒子

路徑積分的這套程序可以直接推廣到多個非全同粒子或幾個全同的玻色子。（這里的“路徑”現(xiàn)在意味著幾個粒子的軌道）不過這套程序卻不能同樣地直接應(yīng)用到全同費(fèi)米子，不然的話費(fèi)米子和玻色子表現(xiàn)得就完全一樣了。

圖 1 如果兩個粒子是全同費(fèi)米子，那么有交換性的路徑的振幅，如III和IV，在求和前必需乘以-1.

對全同費(fèi)米子來說，正確方法需要再加入一個步驟。當(dāng)列舉從時間的初態(tài)到時間f的末態(tài)的所有經(jīng)典路徑時（圖1），注意有一些路徑相對于其他路徑交換了粒子（圖1中，在路徑III和路徑IV交換了粒子，而路徑I和路徑II沒有）。對于費(fèi)米子路徑的振幅分配其實(shí)是和前面講的完全一樣的，只是求和之前，要在那些交換了粒子的路徑前乘上一個“-”號。（這其實(shí)是泡利定理：在你的腦海里，把兩個粒子末態(tài)f相互靠近。隨著間隔越來越小，路徑I的振幅將和路徑III的振幅一致，同樣，每一個無交換路徑也將和有交換路徑一致。由于因子 -1，在求和過程中這些振幅相消。因此兩個全同費(fèi)米子不能移動到同一個位置。）

這個符號調(diào)整對于人類來說并不困難，但對計算機(jī)來說卻造成了一個很大的挑戰(zhàn)（被稱之為“費(fèi)曼符號問題”）。以下量子蒙特卡羅模擬的文獻(xiàn)中，有對這個問題的討論：

17. N. Makri, “Feynman path integration in quantum dynamics”, Comput. Phys. Commun. 63,389-414 1991.

18. S. Chandrasekharan and U.-J. Wiese, ‘‘Meron-cluster solution of fer- mion sign problems,’’ Phys. Rev. Lett. 83, 3116–3119 1999 .

推薦參考

19. R. P. Feynman and A. R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Inte- grals McGraw-Hill, New York, 1965 .

20. D. F. Styer, ‘‘Additions and corrections to Feynman and Hibbs,’’ http:// www.oberlin.edu/physics/dstyer/TeachQM/Supplements.html.

21. L. S. Schulman, Techniques and Applications of Path Integration Wiley, New York, 1981 .

歷史

這種形式是在這篇文章里發(fā)表的

22. R. P. Feynman, ‘‘Space–time approach to non-relativistic quantum mechanics,’’ Rev. Mod. Phys. 20, 367–387 1948 .

4、相空間形式（魏格納）

一個限制在一維上的單粒子，魏格納相空間分布函數(shù)為

這個函數(shù)有很多有用的特性：

函數(shù)本身是純實(shí)數(shù)，可正可負(fù)；

對動量的積分可以給出位置的概率密度

對位置的積分可以給出動量的概率密度

如果用一個常數(shù)相因子替代波函數(shù)ψ，魏格納函數(shù)不變。

給出W(x, p, t)，我們能通過兩步求出波函數(shù)。首先進(jìn)行傅立葉變換

然后選擇任意一點(diǎn)x0，其中W(x0, p, t)不等于零，得

魏格納函數(shù)并不是相空間中的概率密度——按照海森堡的不確定原理是沒有這樣的實(shí)體存在。但它還是具有幾個相同的特性的，因此用“分布函數(shù)”這個詞應(yīng)該更恰當(dāng)一些。

含時性

其中核K(x, p)為

全同粒子

如果波函數(shù)在交換中是對稱或反對稱的，那么魏格納函數(shù)將是對稱的

這當(dāng)然并不意味著玻色子和費(fèi)米子在這種形式中表現(xiàn)的一樣：由前面方程求得的波函數(shù)在交換時仍會顯示出原有的對稱性。不過這確實(shí)表明了在相空間形式中，交換對稱性比在波函數(shù)形式中更難判斷。

應(yīng)用

對于態(tài)體系（N也許等于∞）,波函數(shù)由N個復(fù)數(shù)以及所有的相位多值（即2N 1個實(shí)數(shù)）描述。對于同一個體系，魏格納函數(shù)需要N2個實(shí)數(shù)。很明顯，魏格納函數(shù)并不是一個記錄量子態(tài)信息最經(jīng)濟(jì)的方式。魏格納函數(shù)在以下情況會比較有用，即相比較為經(jīng)濟(jì)的波函數(shù)形式，從冗余的魏格納函數(shù)會更容易得到需要的信息。（例如，動量密度只需要魏格納函數(shù)對位置一個簡單的積分即可得到，而從共形空間波函數(shù)得到動量密度則需要傅立葉變換的平方）

很多問題，尤其是量子光學(xué)上的問題，都可以歸入到這里?？梢詤⒖既缦碌奈墨I(xiàn)：

23. D. Leibfried, T. Pfau, and C. Monroe, ‘‘Shadows and mirrors: Recon- structing quantum states of atom motion,’’ Phys. Today 51, 22–28 1998 .

24. Y. S. Kim and W. W. Zachary, editors, The Physics of Phase Space Springer-Verlag, Berlin, 1987 .

建議參考

25. Y. S. Kim and E. P. Wigner, ‘‘Canonical transformation in quantum mechanics,’’ Am. J. Phys. 58, 439–448 1990 .

26. M. Hillary, R. F. O’Connell, M. O. Scully, and E. P. Wigner, ‘‘Distribution functions in physics: Fundamentals,’’ Phys. Rep. 106, 121–167 1984 .

歷史

相空間形式由此文首次提出

27. E. P. Wigner, ‘‘On the quantum correction for thermodynamic equilibrium,’’ Phys. Rev. 40, 749–759 1932 .

5、密度矩陣形式

一個純態(tài)|ψ的密度矩陣是其外積

如果給出密度矩陣，那么量子態(tài)|ψ可以通過這個方法來獲得：首先選擇任意態(tài)|，于是右矢|ψ（未歸一化）等于

（只要這個量不等于零）。

密度矩陣也可以（雖然很少）叫做“密度算符”。就像其他的量子力學(xué)算符一樣，密度算符與所選擇的基態(tài)無關(guān)，但是算符矩陣的元素

的大小取決于基態(tài)選擇。

密度矩陣形式在處理統(tǒng)計力學(xué)知識時非常強(qiáng)大。例如，如果不知道一個系統(tǒng)的態(tài)的具體信息，但是知道是在三個態(tài)中的一個——|ψ（概率為pψ）, |（概率為p），|χ（概率為px）。這個系統(tǒng)我們稱之為“混合態(tài)”（與“純態(tài)”對立）。一個混合態(tài)不可以表示為

這是三個原始態(tài)的疊加態(tài)。同樣的，混合態(tài)的密度矩陣為

本小節(jié)接下來所有的結(jié)果都可以應(yīng)用到純態(tài)和混合態(tài)中。

含時性

密度矩陣隨時間的變化

其中

是哈密頓算符。（注意：這里的式子與矩陣形式中算符隨時間演化的式子有一個符號差）

全同粒子

密度矩陣，和魏格納相空間分布函數(shù)一樣，在全同粒子交換位置的情況下保持不變，不管它是玻色子還是費(fèi)米子。和魏格納分布一樣，這也并不意味著對稱性和反對稱性波函數(shù)將會表現(xiàn)的一樣；這只是意味著兩者的差異隱藏在了密度矩陣中，而不是實(shí)際地顯示出來。

應(yīng)用

對于N態(tài)體系（N也許等于∞）,一個純態(tài)波函數(shù)由N個復(fù)數(shù)以及所有的相位多值（即2N 1個實(shí)數(shù)）描述。而同一個系統(tǒng)，密度矩陣需要N個實(shí)對角元素加上N(N 1)/2個復(fù)上對角元素，也即共N2個實(shí)數(shù)來描述。然而，通過對這些密度矩陣的跡的操作，加上可以處理混合態(tài)，密度矩陣形式可以在物理的多個領(lǐng)域有應(yīng)用。特別是這個公式

簡直就是量子統(tǒng)計力學(xué)的咒語。

推薦參考

28. U. Fano, ‘‘Description of states in quantum mechanics by density matrix and operator techniques,’’ Rev. Mod. Phys. 29, 74–93 1957 .

29. K. Blum, Density Matrix Theory and Applications, 2nd ed. Plenum, New York, 1996 .

歷史

密度矩陣在此文首次提出。

30. J. von Neumann, ‘‘Wahrscheinlichkeitstheoretischer Auf bau der Quan- tenmechanik,’’

‘‘Probability theoretical arrangement of quantum me- chanics’’ , Nachr. Ges. Wiss. Goettingen,245–272 1927 , reprinted in Collected Works Pergamon, London, 1961 , Vol. 1, pp. 208–235.

6、二次量子化形式

這種形式起重要作用的是生成和湮滅（粒子）算符。其發(fā)展與量子場論有關(guān)，在量子場論中這些作用（生成／湮滅）是真實(shí)的物理效應(yīng)（例如，一個電子和一個正電子湮滅生成一個質(zhì)子）。不過這種形式卻有著廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域，特別是可以應(yīng)用到系統(tǒng)包含大量（但卻恒定）全同粒子的多粒子理論當(dāng)中。

這種形式不幸的名字要?dú)w因于歷史原因——是站在非相對論量子力學(xué)的角度起的名字。更好的名字應(yīng)該叫“占有數(shù)形式”。

二次量子生成算符

會在量子態(tài)|ψ “生成”一個粒子。單粒子態(tài)是由

作用到一個沒有粒子的態(tài)（真空態(tài)）|0上形成的。因此下面這幾個不同的表示都是描述的相同的單粒子態(tài)

所以如果只考慮單粒子體系的話，二次量子化形式和波函數(shù)形式是等價的（甚至看起來有些笨拙）。

多粒子體系會怎么樣呢？假設(shè)|ψ，|和|χ是正交的單粒子態(tài)。那么一個具有兩個全同粒子的態(tài)是由真空態(tài)生成兩個粒子產(chǎn)生的，例如

。如果這兩個全同粒子是玻色子，那么

如果是費(fèi)米子

這說明了一個廣義的規(guī)則：玻色子生成算符滿足對易關(guān)系

費(fèi)米子生成算符滿足反對易關(guān)系

（這里反對易標(biāo)記{A, B} = AB + BA。）二次量子化標(biāo)記在多粒子體系中的有明顯的優(yōu)勢。很多物理學(xué)家同意下面這兩個式子是等價的：

顯然用第一個更簡單。如果還沒感覺，可以看看下面這個對比

其等價形式為

當(dāng)然二次量子化最大的優(yōu)點(diǎn)還不僅僅是使標(biāo)記變得簡潔。波函數(shù)形式允許你——事實(shí)上，它很容易使你——寫下這樣的表達(dá)式

這個表達(dá)式在交換下既不是對稱的也不是反對稱的，所以這個表達(dá)式不會是任何全同粒子的量子態(tài)。但波函數(shù)形式并沒有提供任何明顯的警告說這個表達(dá)式是不合法的。而作為對比，在二次量子化形式中，根本就不可能寫出一個像上面這樣的表達(dá)式——對稱性（或反對稱性）會通過生成算符的對易關(guān)系（或反對易關(guān)系）自動具備，所以在二次量子化形式中只有合法的態(tài)才會被表達(dá)。由于這個原因，二次量子化形式在多粒子理論中被廣泛的使用。

推薦參考

31. H. J. Lipkin, Quantum Mechanics: New Approaches to Selected Topics North-Holland,Amsterdam, 1986 , Chap. 5.

32. V. Ambegaokar, ‘‘Second quantization,’’ in Superconductivity, edited by R. D. Parks MarcelDekker, New York, 1969 , pp. 1359–1366.

33. W. E. Lawrence, ‘‘Algebraic identities relating f irst- and second- quantized operators,’’ Am. J.Phys. 68, 167–170 2000 .

這本書中有對二次量子化形式應(yīng)用的廣泛討論:

34. G. D. Mahan, Many-Particle Physics, 3rd ed. Kluwer Academic, New York, 2000 .

歷史

二次量子化由狄拉克研究光子時引入，隨后由約旦（Jordan）和克萊因（Klein）擴(kuò)展到有質(zhì)量玻色子，由約旦和魏格納擴(kuò)展到費(fèi)米子。

35. P. A. M. Dirac, ‘‘The quantum theory of the emission and absorption of radiation,’’ Proc. R.Soc. London, Ser. A 114, 243–265 1927 .

36. P. Jordan and O. Klein, ‘‘Zum Mehrko rperproblem der Quantentheo- rie,’’ ‘‘On themany-body problem in quantum theory’’ , Z. Phys. 45, 751–765 1927 .

37. P. Jordan and E. Wigner, ‘‘U ber das Paulische A quivalenzverbot,’’ ‘‘On the Paulivalence line prohibition’’ , Z. Phys. 47, 631–651 1928 .

狄拉克和約旦-魏格納的文章被重印。

38. J. Schwinger, editor, Selected Papers on Quantum Electrodynamics (Dover, New York, 1958).

7、變分形式

“變分形式”很容易和更為常見的“變分原理” 搞混。后者是給基態(tài)能量提供一個限制，而變分形式則可以給描述所有態(tài)（不只是基態(tài)）及其隨時間的演化（不只是能量）提供一個完整的圖像。變分形式類似于經(jīng)典力學(xué)中的哈密頓原理。

在這種形式中核心概念仍然是波函數(shù)

，但其隨時間演化的規(guī)則不再是薛定諤方程。讓我們再一次考慮一個非相對論的忽略自旋的兩粒子體系。在所有可能的歸一化波函數(shù)

，正確的那個波函數(shù)必需滿足使時間和共形空間的積分作用量達(dá)到極小值：

其中“拉格朗日密度”為

這里Im{z}的意思是的虛部。不難證明一點(diǎn)，即此處的極小值準(zhǔn)則等價于薛定諤含時方程。

應(yīng)用

在實(shí)際應(yīng)用層面，這種形式可以直接和變分原理聯(lián)系在一起，用來估計基態(tài)能量。在基礎(chǔ)理論層面，我們注意到場變分技巧常常規(guī)定物理規(guī)律的形式必須滿足洛倫茲不變性。這在以下三個方面扮演著很重要的角色：

1）在電磁理論中

39. J. Schwinger, L. L. DeRaad, Jr., K. A. Milton, and W. Tsai, Classical Electrodynamics Perseus Books, Reading, MA, 1998 , especially Chaps. 8 and 9,

2）在廣義相對論（希爾伯特形式）中

40. C. W. Misner, K. S. Thorne, and J. A. Wheeler, Gravitation Freeman, San Francisco, 1973 , Chap. 21,

3）量子場論中

41. C. Itzykson and J.-B. Zuber, Quantum Field Theory McGraw-Hill, New York, 1980 .

正是由于這個原因，現(xiàn)在人們更喜歡以變分形式作為工具把物理拓展到新領(lǐng)域。例如超對稱弦／膜：

42. E. Witten, ‘‘Reflections on the fate of spacetime,’’ Phys. Today 49, 24–30 April 1996 .

43. E. Witten, ‘‘Duality, spacetime and quantum mechanics,’’ Phys. Today 50, 28–33 May 1997 .

但是，在以下這些情況中，變分形式并不直接參與其中：

1）具有固有的非相對論性質(zhì)；

2）涉及時間和共形空間的積分，而不是時間和物理空間的積分。

推薦參考

44. P. M. Morse and H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics McGraw-Hill, New York, 1953 , pp. 314–316 and 341–344.

【注意：在這份參考文獻(xiàn)中拉格朗日密度的定義與前文中的有相反的符號，所以Morse和Feshbach的積分作用量在正確的波函數(shù)下是極大值，而不是極小值】

歷史

這種形式源于該文獻(xiàn)（同一篇文章，介紹了有質(zhì)量玻色子的二次量子化）：

8、導(dǎo)航波形式（德布羅意-波姆）

路易·維克多·德布羅意

我們用一個電子和一個質(zhì)子（忽略自選）系統(tǒng)的例子來概括導(dǎo)航波形式。在經(jīng)典力學(xué)中這個系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上用三維中兩個點(diǎn)的運(yùn)動軌跡來描述。在波函數(shù)形式中這個系統(tǒng)由包含六維共形空間的復(fù)值波函數(shù)描述。在導(dǎo)航波形式中這個系統(tǒng)則同時由物理空間中的兩點(diǎn)和共形空間中的波函數(shù)描述。波函數(shù)在此稱為“導(dǎo)航波”，這個導(dǎo)航波（依據(jù)其經(jīng)典勢能函數(shù)）給兩個點(diǎn)提供信息告訴它們該怎么運(yùn)動。

導(dǎo)航波形式最常引用的版本是波姆的（但也應(yīng)該看一下Durr，Goldstein、Zanghi等的版本）。在波姆的版本中波函數(shù)的形式為

如果我們定義量子勢依賴于態(tài)

那么我們的導(dǎo)航波隨時間的演化為

及

其中

第一個方程類似于一個哈密頓-雅可比方程；第二個方程就像一個連續(xù)性方程，其中P代表概率密度。

這兩個點(diǎn)粒子運(yùn)動的加速度為

及

換句話說，力不僅僅由經(jīng)典勢的梯度提供，還有量子勢的梯度。點(diǎn)粒子的初始勢能是不確定的：對于系統(tǒng)整體，初始勢的概率密度為

。因此和質(zhì)子有關(guān)的粒子及和電子有關(guān)的粒子都有一個確定的位置和動量；不過初始的整體不確定性及量子勢共同使得對任何一個系綜的測量集都必然滿足ΔxΔp ≥ /2。

波函數(shù)改變時，量子勢

會在共形空間中立即改變，這種機(jī)制對量子力學(xué)中典型的非局域相關(guān)性有貢獻(xiàn)。當(dāng)然有一個更自然的機(jī)制阻止了人們把這種即時改變用到超光速的信息交流。

應(yīng)用

要用導(dǎo)航波形式，我們必須同時計算軌跡和波函數(shù)，所以并不奇怪，在計算上對于大部分問題這種形式都是非常復(fù)雜的。例如雙縫干涉現(xiàn)象，這個常常會在大二現(xiàn)代物理問題中用波函數(shù)形式解決，但在導(dǎo)航波形式中則需要很高的計算技巧：

46. C. Philippidis, C. Dewdney, and B. J. Hiley, ‘‘Quantum interference and the quantum potential,’’ Nuovo Cimento Soc. Ital. Fis., B 52, 15–28 1979 .

但另一方面，導(dǎo)航波形式在考慮量子力學(xué)基本特性的問題上卻很有效。例如貝爾（John Bell）關(guān)于定域性的劃時代理論，其量子理論就受到導(dǎo)航波形式的啟發(fā)。且很多聰明的研究者發(fā)現(xiàn)導(dǎo)航波形式本身具有很深刻含義。例如：

47. J. S. Bell, ‘‘Six possible worlds of quantum mechanics,’’ in Possible Worlds in Humanities, Arts and Sciences: Proceedings of Nobel Sympo- sium 65, 11–15 August 1986, edited by S. Alle n Walter de Gruyter, Berlin, 1989 , pp. 359 – 373. Reprinted in J. S. Bell, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1987 , Chap. 20, pp. 181–195.

48. H. P. Stapp, ‘‘Review of ‘The Undivided Universe’ by Bohm and Hi- ley,’’ Am. J. Phys. 62, 958–960 1994 .

推薦參考

49. D. Bohm, B. J. Hiley, and P. N. Kaloyerou, ‘‘An ontological basis for the quantum theory,’’ Phys. Rep. 144, 321–375 1987 .

50. D. Bohm and B. J. Hiley, The Undivided Universe: An Ontological Interpretation of Quantum Theory Routledge, London, 1993 .

51. D. Du rr, S. Goldstein, and N. Zangh , ‘‘Quantum equilibrium and the origin of absolute uncertainty,’’ J. Stat. Phys. 67, 843–907 1992 .

歷史

路易斯.德.布洛意在1927年索維會議上首次提出這種形式。但該想法的主要發(fā)展開始于：

52. D. Bohm, ‘‘A suggested interpretation of the quantum theory in terms of ‘hidden’ variables, I and II,’’ Phys. Rev. 35, 166–179 and 180–193 1952 .

9、哈密頓-雅可比形式

威廉·哈密頓

經(jīng)典哈密頓-雅可比形式可以系統(tǒng)地找到變量的變化，因此由此導(dǎo)出的運(yùn)動方程是完備的。特別是，其結(jié)果如果用另外一組稱為“作用角”形式的新變量表示，那么我們可以無需知道運(yùn)動本身是什么樣的，就能得到周期運(yùn)動的周期。

經(jīng)典哈密頓-雅可比理論給量子力學(xué)的發(fā)展提供了重要的啟發(fā)。（狄拉克的“變換理論”也同樣強(qiáng)調(diào)了變量變換的方法，Wilson-Sommerfeld版的舊量子理論依賴于作用角的變量。）但直到1983年Robert Leacock和Michael Pagdett對其作出拓展，才被認(rèn)為是一個完整的哈密頓-雅可比形式的量子力學(xué)。這種形式的核心概念是“哈密頓原理函數(shù)”

，于是

【注意：這個函數(shù)可能是復(fù)的，這里的S不是導(dǎo)航波中定義的S】哈密頓原理函數(shù)滿足量子哈密頓-雅可比方程

【注意：“量子哈密頓-雅可比方程”這個名稱除了應(yīng)用于這個方程，也應(yīng)用于導(dǎo)航波方程】

如果其結(jié)果換成以作用角的形式表示，那么這個形式可以在不需要知道本征函數(shù)的情況下得到能量本征值。

推薦參考

53. R. A. Leacock and M. J. Padgett, “Hamilton–Jacobi/action-angle quan- tum mechanics”, Phys. Rev. D 28, 2491–2502 1983 .

54. R. S. Bhalla, A. K. Kapoor, and P. K. Panigrahi, “Quantum Hamilton– Jacobi formalism and the bound state spectra”, Am. J. Phys. 65, 1187– 1194 1997 .

55. J.-H. Kim and H.-W. Lee, “Canonical transformations and the Hamilton–Jacobi theory in quantum mechanics”, Can. J. Phys. 77, 411–425 1999 .

10、總結(jié)和結(jié)論

我們上面已經(jīng)討論了九種不同形式的量子力學(xué)。在這個過程中我們學(xué)到了什么？可能我們在經(jīng)典力學(xué)中已經(jīng)領(lǐng)教過了，而且在日常生活中也學(xué)到過，即：“沒有萬能藥”。這里的每一種形式都會在一些應(yīng)用上更容易或者理論的某些方面更明晰，但是沒有一個形式能夠成為“通往量子力學(xué)的捷徑”。量子力學(xué)在我們經(jīng)典的眼睛中看起來很奇怪，所以當(dāng)直覺欺騙我們時，我們采用數(shù)學(xué)作為我們的可靠指南。這幾個各種形式的量子力學(xué)可以重新組織這種奇異性，但它們不能把這種奇異性給消除掉。

矩陣形式，被發(fā)現(xiàn)的第一種形式，在解決諧振子和角動量問題中很有用，但用來解決其它問題就比較困難了。最流行的波函數(shù)形式是解決問題的標(biāo)準(zhǔn)形式，但卻給人留下一個概念上的錯誤印象——讓人誤以為波函數(shù)是一個物理實(shí)體，而不是一個數(shù)學(xué)工具。路徑積分形式在物理上是吸引人的，且能夠推廣到超出非相對論量子力學(xué)的領(lǐng)域當(dāng)中去，但其大多數(shù)的應(yīng)用上都是很費(fèi)力的。相空間形式在考慮經(jīng)典極限時是很有用的。密度矩陣形式可以很容易地處理混合態(tài)，所以它在統(tǒng)計力學(xué)中有特別的價值。這對二次量子化形式也是正確的，特別是當(dāng)系統(tǒng)包含大量全同粒子時，二次量子化尤為重要。變分形式在應(yīng)用上很少會是一個好的工具，但在把量子力學(xué)推廣到未知領(lǐng)域卻有著很大的價值。導(dǎo)航波形式給出了一些概念性的問題。而哈密頓-雅可比形式則方便我們?nèi)ソ鉀Q其他一些難處理的約束態(tài)問題。

我們很幸運(yùn)地生活在這樣一個宇宙，自然提供給我們了這樣的恩賜。

三、附加問題

本節(jié)探討兩種量子力學(xué)的詮釋（這兩種詮釋也可能會被視作量子力學(xué)的形式），然后簡單討論一點(diǎn)四個別的內(nèi)容。

1、多世界詮釋（埃弗雷特（Everett））

多世界詮釋處在“形式”和“詮釋”的邊緣————事實(shí)上其創(chuàng)始人休.埃弗雷特（Hugh Everett）稱之為“相對態(tài)形式”，不過布萊斯.德威特（Bryce DeWitt）給它命名的“多世界詮釋”流傳更廣。

在這種詮釋中，沒有“波函數(shù)的塌縮”這回事。這個時候問題從“世界中發(fā)生了什么？”變成“一個特定的故事線上發(fā)上了什么？”。這種觀點(diǎn)的改變可以用一個例子很好地說明：如果一個女科學(xué)家不能下定決心是結(jié)婚還是推掉婚約，她沒有拋硬幣來決定，而是將一個圓偏振的光子發(fā)射到偏振片上，如果從偏振片中出來一個線偏的光子，光子探測器將記錄下這個信號，并觸發(fā)一個鈴鐺響起。這個女科學(xué)家事先決定，如果鈴響她就出嫁；否則她就保持單身。在波爾的量子力學(xué)版本中，問題將是“發(fā)生了什么”，答案是這個女科學(xué)家有50%的可能結(jié)婚，50%的可能推掉婚約。而在埃弗雷特的版本中，問“發(fā)生了什么”是不正確的，因?yàn)檫@兩件事都發(fā)生了：有一條故事線是線偏光子射出，鈴響，結(jié)婚；而還有另一條故事線，光子被吸收，沒有鈴響，婚約終止。每一條故事線都是存在的。要想知道我們生活在哪一條故事線上，我們只需要簡單地看一下這個科學(xué)家的婚姻狀態(tài)即可。如果她結(jié)婚了，那么我們就生活在那條線偏光子射出繼而鈴響的故事線上；否則就是生活在另一條故事線上?！鞍l(fā)生了什么”這個問題是不恰當(dāng)?shù)摹覀儜?yīng)該問“在一條特定的故事線上發(fā)生了什么”。（就像問“到芝加哥有多遠(yuǎn)”這個問題是不恰當(dāng)?shù)?，而?yīng)當(dāng)問“從舊金山到芝加哥又多遠(yuǎn)”一樣）

在這個相對態(tài)形式中，波函數(shù)從來都沒塌縮——它只是一直地這么分叉下去。而每一個分支都是相容的，沒有哪個分枝比別的分枝更好。（在多世界版本中，我們說共存分支宇宙，而不是多故事線。）概括來說，相對態(tài)理論更強(qiáng)調(diào)相關(guān)性，而避免塌縮。

應(yīng)用

相對態(tài)形式在數(shù)學(xué)上等價于波函數(shù)形式。所以并沒有任何技術(shù)上的原因使我們選擇一個而不選另一個。但是另一方面，我們發(fā)現(xiàn)相對態(tài)形式的概念方面，對是否會變成不活躍的基態(tài)有深刻的解釋。例如，大衛(wèi).多伊奇在1985年的論文（該論文催生了量子計算這個肥沃的領(lǐng)域）中他表達(dá)了自己的觀點(diǎn)：“除了埃弗雷特的解釋外，其他所有的量子理論的解釋對量子計算性質(zhì)的直觀說明都是無法忍受的?！?

56. D. Deutsch, ‘‘Quantum theory, the Church-Turing principle and the uni- versal quantum computer,’’ Proc. R. Soc. London, Ser. A 400, 97–117 1985 .

推薦參考

57. H. Everett III, ‘‘ ‘Relative state’ formulation of quantum mechanics,’’ Rev. Mod. Phys. 29, 454–462 1957 .

58. B. S. DeWitt and N. Graham, in The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics Princeton University Press, Princeton, NJ, 1973 .

59. Y. Ben-Dov, ‘‘Everett’s theory and the ‘many-worlds’ interpretation,’’ Am. J. Phys. 58, 829–832 1990 .

60. B. S. DeWitt, ‘‘Quantum mechanics and reality,’’ Phys. Today 23, 30–35 September 1970 .

61. L. E. Ballentine, P. Pearle, E. H. Walker, M. Sachs, T. Koga, J. Gerver, and B. DeWitt, ‘‘Quantum mechanics debate,’’ Phys. Today 24, 36–44 April 1971 .

2、交易詮釋（克萊默）

交易詮釋（The Transactional Interpretation）是比較清晰和有價值的，但卻很難用一個簡單的指南來描述這種詮釋，所以很多考察過這種詮釋的人覺得它有點(diǎn)兒怪異。如果我們這里簡短的介紹讓你產(chǎn)生了誤解，那么強(qiáng)烈建議你查閱一下參考文獻(xiàn)。

在交易詮釋中，源和探測器，假設(shè)是電子，它會發(fā)射出延遲波（retarded wave）（順著時間行進(jìn)）和超前波（advanced wave）（逆著時間行進(jìn)），形成駐波。一個由源向探測器移動的電子，包括一個從源出發(fā)的“出價波”（Offer Wave，相應(yīng)于ψ）和一個從探測器出發(fā)的“確認(rèn)波”(Confirmation Wave，相應(yīng)于ψ)，它們相互干涉產(chǎn)生一個“跨時空的握手”。在電子還沒有離開源之前，兩個波之間破壞性的干涉（此時兩者相互抵消）會確保電子不可能到達(dá)探測器；在電子發(fā)出之后，其建設(shè)性的干涉會在源和探測器之間形成一個具有完整振幅的波，兩個波之間交易的程度決定了粒子撞擊到探測器上的概率。

應(yīng)用

根據(jù)克萊默的說法，“交易詮釋……和傳統(tǒng)的量子力學(xué)（即波動形式）預(yù)測的結(jié)果沒什么區(qū)別……我們發(fā)現(xiàn)它作為決定用哪些量子力學(xué)計算的指南更有用，而不是去做這種計算……交易詮釋的主要用途是作為一個概念模型，為用戶提供了一種方法，使得用戶有一個清晰的可視化的復(fù)雜量子過程，并能快速分析看似“矛盾”的情境。在對那些至今仍然很神秘的量子現(xiàn)象的直覺理解方面，交易詮釋看起來也是有很大價值的?！崩?，在交易詮釋中，波函數(shù)坍縮不會出現(xiàn)在任何一個特定的時間點(diǎn)，而是“非時間性的”（atemporal），發(fā)生于整個交易過程——出價波與確認(rèn)波發(fā)生交互作用所在的時空區(qū)域。這些波被視為在物理上是真實(shí)存在的，而不是一個數(shù)學(xué)道具。

全同粒子

交易詮釋的討論通常在單粒子量子力學(xué)的背景下進(jìn)行的。我們不清楚的是，在一個二粒子系統(tǒng)中是否有兩個“跨時空的握手”或者一個“共形時空的握手”。因此，我們在此無法解釋交易詮釋如何區(qū)分玻色子和費(fèi)米子。

推薦參考

62. J. G. Cramer, ‘‘The transactional interpretation of quantum mechanics,’’ Rev. Mod. Phys. 58, 647–687 1986 .

63. J. G. Cramer, ‘‘An overview of the transactional interpretation of quan- tum mechanics,’’ Int. J. Theor. Phys. 27, 227–236 1988 .

64. J. G. Cramer, ‘‘Generalized absorber theory and the Einstein–Podolsky–Rosen paradox,’’ Phys. Rev. D 22, 362–376 1980 .

原文來源：DOI: 10.1119/1.1445404

作者 | Daniel F. Styer .etc

翻譯 | Camel

審校 | 陳星